Résistance des Matériaux

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Principe Fondamental de la statique - Équilibre des systèmes

Enoncé du PFS

Un ensemble matériel est en \textit{équilibre} par rapport à un repère fixe dit Galiléen si au cours du temps, chaque point de conserve une position fixe par rapport au repère .

Exemple : Cas d'un bâtiment

Prenons comme ensemble matériel un bâtiment avec un repère qui est lié au sol; le bâtiment est en équilibre s'il ne bouge pas : pas de flèche importante, ni de tassement des fondations...

Fondamental : Enoncé du PFS

Si un ensemble matériel est en équilibre par rapport à un repère , la somme des actions mécaniques extérieures à qui agissent sur est nulle.

Exemple :

Reprenons notre bâtiment : il est soumis à des sollicitations extérieures : le vent, la neige, les charges d'exploitation, son poids propre. Pour qu'il soit en équilibre et que le PFS soit respecté, il est nécessaire que la réaction du sol compense ces sollicitations extérieures.

Ecriture mathématique du PFS

Mathématiquement, le principe fondamental de la statique s'écrit :

Or, un torseur est composé de forces et de moments ; il peut dont être décomposé en une somme de forces et l'expression d'un moment en un point :

Degrés de liberté

Avant de définir les réactions aux appuis, nous avons besoin de définir ce qu'est un appui et de commencer par la notion de degrés de liberté

Définition : Degré de liberté

En mécanique, un degré de liberté^[1] ou ddl^[2] représente « chacun des mouvements relatifs (translations et rotations) indépendants d'un solide dans l'espace par rapport à un autre ».

Ainsi, dans l'espace, dans un repère Galiléen, il est possible de définir 3 translations et 3 rotations :

Cela nous fait alors 6 ddl.

Dans le plan, le nombre de degrés de liberté se simplifie : nous ne considérons plus la translation suivant z ni la rotation suivant x et y. Cela signifie qu'il ne nous reste plus que 3 ddl qui sont :

Il est alors possible de combiner les ddl^[2] pour définir les conditions aux limites

Appuis simples

Ainsi, un appui simple représente une condition aux limites où seul un déplacement (en général u_y) est bloqué. Il y a donc une translation et une rotation de libre.

Exemple : Appui simple

Les appuis simples sont facilement identifiables au niveau des piles de ponts. Dans le bâtiment, c'est la différence de raideur entre un poteau ou une poutre qui permet de dire si la liaison peut être considérée comme un appui simple. En BA, cela fait partie des hypothèses de dimensionnement : l'ouvrage se comportera comme il est dimensionné.

Appareil d'appui

Ceci est un appareil d'appui en néoprène fretté d'un pont. Regardez comment il est déformé : la translation horizontale est possible ; la rotation l'est aussi par décollement des plaques les unes par rapport aux autres. Seul le déplacement vertical n'est pas permis.

Articulation

L'articulation est une condition aux limites où les translations ne sont pas autorisées. Seule la rotation suivant z est permise.

Exemple : Pont d'Austerlitz - Vue d'ensemble

Pont d'Austerlitz - Paris

Les articulations sont souvent utilisées dans la construction de ponts métalliques, mais peu visibles car cachées dans des éléments de décoration.

Dans le cas du pont d'Austerlitz (près de la gare du même nom), il y a une rotule au centre du pont et des articulations au niveau des culées. Un gros plan permet de mieux les voir.

Culée du pont d'Austerlitz

Articulation en pied de poteau

Mais les articulations sont aussi utilisées dans le domaine du bâtiment, au niveau des structures de type halles ou hangars.

C'est le cas de ce hall industriel en construction métallique où l'articulation est bien visible.

Articulation, rotule ou appui double ?

L'appui double est un abus de langage largement utilisé pour faire son pendant à l'appui simple. Mais souvent il prête à confusion. Mieux vaut lui préférer alors le terme d'articulation.

La rotule, quant à elle se trouve être une jonction entre 2 poutres. Elle ne sera donc pas considérée comme une condition aux limite.s

Encastrement

Quand aucune translation ni rotation n'est tolérée, on parle alors d'encastrement. Les exemples les plus courants sont les fondations des bâtiments ainsi que les balcons en console "encastrés" dans les murs.

Réactions aux appuis

Lorsqu'une translation ou une rotation est empêchée, il est nécessaire de mettre en œuvre une force ou un moment qui s'appelle alors réaction d'appuis.

Toute action sur une structure entraîne des réactions.

A partir de ce constat, il est possible de définir les réactions possibles au sein de nos différentes conditions aux limites